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Gruppen, Körper und Ringe

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Gruppen, Körper und Ringe

Seite 8




Minimale Darstellungen endlicher klassischer Gruppen in natürlicher Charakteristik
von Lars Schneider
Taschenbuch, . August 2004     



Die Bestimmung der minimalen Darstellungen der endlichen Gruppen vom Lie-Typ, also derjenigen nichttrivialen Darstellungen, deren Darstellungsmodul minimale Dimension hat, 1 ist ein nahe liegendes und grundlegendes Problem in der Gruppen und Darstellungstheorie, das eine Reihe wichtiger Anwendungen besitzt. Beispiele hierfür sind die Klassifikation der 2-transitiven Permutationsgruppen und die Bestimmung der maximalen Untergruppen der endlichen Gruppen vom Lie-Typ. Für viele dieser Anwendungen sind nicht die Darstellungen über Zerfällungskörpern oder algebraisch abgeschlossenen Körpern, sondern diejenigen über den Primkörpern entscheidend. Bei der Bestimmung der minimalen Darstellungen macht es wenig überraschend einen wesentlichen Unterschied, ob diese in der von der endlichen Gruppe vom Lie-Typ vorgegebenen natürlichen Charakteristik oder in teilerfremder Charakteristik vorliegen. Im letzteren Fall können die Minimalgrade (die Dimensionen der minimalen Darstellungsmoduln)1 mit rein gruppentheoretischen und relativ einfachen darstellungstheoretischen Methoden durch Reduktion auf Frobeniusgruppen und Untergruppen, die extraspeziellen Gruppen ähnlich sind, abgeschätzt werden. Dies wurde in [ H H] und [ He2] für die projektiven speziellen linearen und die projektiven symplektischen Gruppen durchgeführt und in [ L S] auf alle endlichen Gruppenvom Lie-Typ ausgeweitet.




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Gruppen, Parkette und Selbstähnlichkeit .
von Götz Gelbrich
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